２値データ (x,y) を拡張して、測定値 y が m-1 個の変数 x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ･･･, x^(m-1) に依存する場合に、

y = a₀ + a₁ x⁽¹⁾ + a₂ x⁽²⁾ + ･･･ + a_m-1 x^(m-1)　　(16)

なる線形の式を、測定して得られる N 個のデータに、もっとも、もっともらしく当てがう事を考えましょう（x⁽⁰⁾ = 1 と考えます）。これは、たとえば m-1 個の変数として、２値データ (x, y) について、（x, x², x³, ・・・, x^m-1）をとれば、実験結果の多項式への当てはめの問題ということになります。

以下、表記を簡単にするために、^Tx = (1, x⁽¹⁾, x⁽²⁾, ･･･, x^(m-1)) を用い、(16)式を

y = ^Tx a　　(17)

と書き、またそれぞれの測定値の分散は同じで s₀² とします。ここで ^Tz は z を転置したものです。

　さて１章と同じような考察から、

　　(18)

を最小にするような a をとれば、もっとも、もっともらしいパラメーター a が決まります。ここから得られる正規方程式は次のようになります。

・・・・・・・・・

　　(19)

これはコンパクトに次のように表記できます。

^TX X a = ^TX y　　(20)

ここで X は、N 行 m 列の行列で、X_ij は x_i^(j-1) に相当し、 y は観測値 y_i を成分とするベクトルです。この(20)式から、最適のパラメーターは次式によって得られます。

a = (^TX X)^{-1 T}X y　　(21)

☆クロメル-アルメル(CA)熱電対の起電力は0～100 ℃の範囲でかなりよい直線性を示すが、わずかに非直線性がある。下に示すデータを用いて、0～100 ℃でのCA熱電対の熱起電力を温度 t の２次関数で表現してみよ。

３章では、a を変動させたときの偏差の変動を考えたわけですが、ここではもっと直接的に、a 自身が測定データの誤差とどう関わっているかを考えることにしましょう。(21)式から、測定値 y に dy だけの変動がある時、決めた、もっとも、もっともらしいパラメーター a⁽⁰⁾ の変動 da は

da = (^TX X)^{-1 T}X dy　　(22)

で評価されます。したがって、推定パラメーター a の共分散行列の期待値は

E [da d^Ta] = E[(^TX X)^{-1 T}X dy d^Ty X (^TX X)^-1]

= (^TX X)^{-1 T}X E[dy d^Ty] X (^TX X)^-1

= s₀² (^TX X)^-1　　(23)

で与えられる（E[dy_idy_j] が、i≠jの時 0、i = j の時 s₀²となることに注意）。つまりそれぞれのパラメーターの分散は次のように評価できるわけです。

E [(da_ij)²] = s₀² (^TX X)^-1_ij　　(24)

次に問題になるのは s₀²の評価ですが、(15)式のように

　　(25)

で評価する事ができます（付録Ａ）。

☆m = 2 のとき、(13)、(14) 式が導出できることを確かめよ。

☆CA 熱電対の起電力を与える式のパラメーターの誤差の評価を行え。

ここまでもっぱら、すべてのデータの分散が等しい（ s₁² = ･･･ = s_N²）として標式を導いてきました。しかし取り扱うデータによっては、それぞれのデータの信頼性が異なる場合があります。たとえば、かりに相対誤差が x に反比例するようなデータを扱うならば、 s₁² x₁² = ･･･ = s_N² x_N²、という関係を導入する必要があります。

こうしたデータごとに信頼性がちがうデータを扱う場合には、それぞれのデータにw_i ( = s₀²/s_i²) だけの重みをつけて

　　(26)

を最小にするという形で問題を設定すればよい。ここでWは対角成分W_ii = w_i の対角行列。また s₀² は標準的な測定（＝重みが１）に関わる分散です。これから得られる正規方程式は次の形に書けます。

^TX W X a = ^TX W y　　(27)

だからもっとももっともらしいパラメータは

a = (^TX W X)^{-1 T}X W y　　(28)

で与えられます。またその分散の期待値は、次式で評価されます（W = E[dy d^Ty] に注意する）。

E [(da_i)²] = s₀² (^TX W X)^-1_ij　　(29)

そして標準的な測定の分散 s₀² は、次式で評価されます。

　　(30)